Reziduum (matematika)

Vyjádříme-li meromorfní funkci $f(z)$ v okolí jejího izolovaného singulárního bodu $z_{0}$ Laurentovou řadou (pro $z\neq z_{0}$), pak číslo $a_{-1}$ se nazývá reziduum funkce $f(z)$ v bodě $z_{0}$.

Na základě vyjádření koeficientů Laurentova rozvoje získáme

$a_{-1}={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{c}f(z)\mathrm {d} z$

Reziduová věta

Mějme jednoduchou konečnou po částech hladkou uzavřenou křivku $c$, která je kladně orientovaná vzhledem ke svému vnitřku $\scriptstyle \mathbf {G}$. Uvažujme funkci $\scriptstyle f(z)$, která je v $\scriptstyle \mathbf {G}$ holomorfní s výjimkou konečného počtu singulárních bodů $z_{1},z_{2},...,z_{n}$ a s výjimkou těchto bodů spojitá v $\scriptstyle \mathbf {G} \cup c$. Pak integrál

${\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{c}f(z)\mathrm {d} z$

je roven součtu reziduí funkce $f(z)$ v bodech $z_{1},z_{2},...,z_{n}$, tzn.

${\frac {1}{2\pi \mathrm {i} }}\oint _{c}f(z)\mathrm {d} z=\sum _{k=1}^{n}\mathrm {Res} {[f(z)]}_{z=z_{k}}$,

kde $\scriptstyle \mathrm {Res} {[f(z)]}_{z=z_{k}}$ označuje reziduum funkce $f(z)$ v bodě $z_{k}$.

Výpočet reziduí

Má-li meromorfní funkce f definovaná alespoň na okolí D = {z: 0 < |z-c| < R, R > 0} v bodě c pól prvního řádu, potom je reziduum určeno jako:

$\operatorname {Res} \left[f\right]_{z=c}=\lim _{z\to c}(z-c)f(z),$

nebo přímo použitím reziduové věty

$\operatorname {Res} \left[f\right]_{z=c}={1 \over 2\pi i}\int _{\gamma }f(z)\,dz$

kde kladně orientovaná křivka γ tvoří kruh kolem c o poloměru ε, kde ε je libovolně malé.

Reziduum funkce f(z)=g(z)/h(z) mající v c pól prvního řádu, kde g a h jsou holomorfní funkce v okolí c a zároveň h(c) = 0, g(c) ≠ 0, je dáno jako

$\operatorname {Res} \left[f\right]_{z=c}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.$

Obecněji je reziduum funkce f v bodě z = c mající v c pól řádu n vyjádřeno jako:

$\operatorname {Res} \left[f\right]_{z=c}={\frac {1}{(n-1)!}}\cdot \lim _{z\to c}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\right)^{n-1}\left(f(z)\cdot (z-c)^{n}\right).$

Může-li být f holomorfně rozšířena na celý disk { z : |z − c| < R }, potom Res[f]_z=c = 0. Opačné tvrzení obecně neplatí.

Související články

• Laurentova řada